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Elemente (1. Buch) – Euklid

In diesem E-Buch werden Auszüge der auf dem Titelblatt angegebenen Buchausgabe in digitalisierter Form wiedergegeben. Neben der vollständigen Wiedergabe des 1. Bandes der Elemente wurden auch die vom Übersetzer eingefügten Erklärungen vollständig übernommen, obwohl nicht alle erläuterten Symbole im 1. Band vorkommen. Die Einleitung des Übersetzers dagegen hab weggelassen, denn es gibt inzwischen eine Vielzahl von aktueller Literatur, um sich in das Thema einzulesen. In diesem Zusammenhang kann ich einen Aufsatz von Norbert Froese ›Euklid und die Elemente‹ nur empfehlen. Der vorhandene Auszug ist vollkommen ausreichend, um Euklids Vorgehen bei der Beweisführung anhand des Quelltextes zu demonstrieren: Für einen Beweis darf nur verwendet werden, was vorher bereits bewiesen wurde oder als Axiom ganz zu Anfang festgelegt wurde. Die Einführung dieser Genauigkeit des Denkens ist es, die das Werk über 2000 Jahre lang ›in den Charts‹ hielt. Technisches Dieses E-Buch verwendet eine eingebettete Schrift. Wenn sie hier e anstelle eines Dreiecks den kleinen Buchstaben ›e‹ sehen, dann wird dies von Ihrem Lesegerät nicht unterstützt. Weiterhin wird die Nutzung eines Lesegeräts empfohlen, das Hyperlinks adäquat unterstützt und über eine Rücksprungoption verfügt. Erklärung der zur Abkürzung gebrauchten Zeichen. A=B die Grösse A ist der Grösse B gleich. A=B=C alle drey Grössen, A, B, C, sind einander gleich. A>B die A ist grösser als die B. BB, so ist auch C>D, wenn A<B, so ist auch C<D. AcB die A ist der B änlich. AbE die A ist der B gleich und änlich. A+B zu A ist B hinzugesetzt. A−B von A ist B weggenommen. ABC der Winkel ABC, dessen Spitze B. eABC der Triangel ABC. dAB das Quadrat der geraden Linie AB. Rect. ABBC das Rectangel, aus den beyden Linien AB, BC.


Rect. A, B das Rectangel aus den beyden Linien A, B. A:B die Verhältniß der A zu B. A:B=C:D die A verhält sich zu B, wie C zu D. (A:B)2 die zwiefach höhere Verhältnis der A zu B. (A:B)3 die dreyfach höhere Verhältnis der A zu B. A·B das Product aus den Zahlen A, B. A2 die Quadratzahl von A. A3 die Kubikzahl von A. AgB die Flächen A, B, sind commensurabel; oder die geraden Linien, A, B, sind in Länge commensurabel. AfB die Flächen A, B, sind incommensurabel; oder die geraden Linien A, B, sind in Länge incommensurabel. AiB die geraden Linien A, B, sind nur in Quadrat commensurabel. AhB die geraden Linien A, B, sind in Quadrat incommensurabel. Euklids Elemente Erstes Buch. Definitionen. 1. Ein Punkt ist, was keine Theile hat. 2. Eine Linie ist eine Länge ohne Breite. 3. Enden einer Linie sind Punkte. 4. Eine gerade Linie ist, welche den auf ihr befindlichen Punkten gleichförmig liegt. 5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.

6. Enden einer Fläche sind Linien. 7. Eine ebne Fläche, (Ebne) ist, welche den auf ihr befindlichen geraden Linien gleichförmig liegt. 8. Ein ebner Winkel ist die Neigung zweier Linien gegen einander, wenn solche in einer Ebne einander berühren, ohne in Einer geraden Linie zu liegen. 9. Sind die Linien, welche den Winkel einschliessen, gerade; so heißt derselbe ein gradlinicher Winkel. 10. Steht eine gerade Linie auf einer andern so, daß die Nebenwinkel gleich sind; so heißt sie senkrecht, (perpendikular) ans der andern, und jeder der beyden gleichen Winkel heißt ein rechter. 11. Ein stumpfer Winkel heißt, der grösser als ein rechter; 12. Ein spitzer aber, der kleiner als ein rechter ist. 13. Grenze heißt, was das Ende eines Dinges ist; 14. Figur, was von einer, oder mehrern Grenzen, eingeschlossen wird. 15. Ein Cirkel ist eine ebne Figur, von einer einigen Linie, Peripherie genannt, so eingeschlossen, daß die geraden Linien, welche bis zu derselben, aus Einem innerhalb der Figur befindlichen Punkte, gezogen werden, alle einander gleich sind; 16. Dieser Punkt heißt des Cirkels Mittelpunkt, (Centrum.) 17. Des Cirkels Durchmesser, (Diameter) ist jede gerade Linie, welche durch den Mittelpunkt gehet und an beyden Seiten von der Peripherie begrenzt wird; welche auch den Cirkel halbiret. 18. Ein Halbcirkel ist eine Figur, welche vom Durchmesser und dem durch ihn abgeschnittnen Cirkelbogen, oder Theil der Peripherie, eingechlossen wird. 19. Ein Cirkelabschnitt (Segment) ist, so von einer geraden Linie und dem Cirkelbogen eingeschlossen wird.

20. Geradliniche Figuren sind, die von geraden Linien eingeschlossen werden; und zwar 21. dreyseitige (Triangel) die, so von dreyen, 22. vierseitige, welche von vieren, 23. vielseitige (Polygone) die von mehr als vier geraden Linien eingeschlossen werden. 24. Unter den Triangeln heißt derjenige gleichseitig, welcher drey gleiche Seiten hat, 25. gleichschenklich aber, welcher nur zwey gleiche Seiten hat, 26. ungleichseitig, welcher drey ungleiche Seiten hat. 27. Ferner heißt unter den Triangeln derjenige rechtwinklich, welcher Einen rechten Winkel hat, 28. stumpfwinklich, welcher Einen stumpfen Winkel hat, 29. spitzwinklich, welcher drey spitze Winkel hat. 30. Unter den vierseitigen Figuren heißt diejenige ein Quadrat, welche gleichseitig und rechtwinklich ist, 31. Ein Oblongum, welche zwar rechtwinklich, aber nicht gleichseitig ist, 32. Ein Rhombus, welche zwar gleichseitig, aber nicht rechtwinklich ist, 33. Ein Rhomboides, deren Gegenseiten und Gegenwinkel gleichs sind, die aber weder gleichseitig noch rechtwinklich ist. 34. Jede andre vierseitige Figur heisse Trapezium. 35. Parallel sind gerade Linien in Einer Ebne, die, so weit man sie auch an beyden Seiten verlängern mag, doch an keiner Seite zusammentreffen. Postulate. 1. Man fodre, von jedem Punkte nach jedem andern eine gerade Linie zu ziehen, 2.

desgleichen, eine begrenzte gerade Linie stetig in gleicher Richtung zu verlängern, 3. desgleichen aus jedem Punkte in jedem Abstande einen Cirkel zu beschreiben.

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